دو کے اعداد کے ایک مسطح گرڈ اور مکمل طور پر تین کے اعداد سے بنے ایک مکعب کے درمیان حالتی فضا (state space) کا مقابلہ۔
انگریزی میں لکھا اور ترمیم کیا گیا۔ یہ اردو نسخہ مشینی ترجمے سے تیار کیا گیا ہے؛ جہاں درستی اہم ہو، وہاں انگریزی اصل ہی مستند ہے۔ اصل انگریزی متن پڑھیں ←
دونوں کھیل سرکنے والے اعداد کی پہیلیاں ہیں۔ 2048 میں آپ سولہ خانوں کے 4×4 گرڈ کو چار میں سے کسی ایک سمت میں دھکیلتے ہیں؛ برابر ٹائلیں ٹکرا کر دگنی ہو جاتی ہیں اور دو کی طاقتوں کی سیڑھی چڑھتی ہیں۔ 3927 میں آپ ستائیس خانوں کے 3×3×3 مکعب کو چھ میں سے کسی ایک سمت میں دھکیلتے ہیں؛ تین برابر بلاک ٹکرا کر تگنے ہو جاتے ہیں اور تین کی طاقتوں کی سیڑھی چڑھتے ہیں: 3، 9، 27، یعنی عین وہی ہندسے جن سے کھیل کا نام بنا ہے۔ 1 یہ پوچھنا کہ کون سا کھیل زیادہ مشکل ہے، دراصل یہ پوچھنا ہے کہ کون سا کھیل ممکنہ پوزیشنوں کا بڑا سمندر چھپائے ہوئے ہے۔ تو آئیے پانی ناپنے کی کوشش کریں۔
کسی بورڈ کا خام حجم (فی خانہ علامات کی تعداد)cells کے حساب سے بڑھتا ہے، جہاں قوت نما cells خانوں کی تعداد ہے۔ خانوں کی گنتی قوت نما میں بیٹھتی ہے، اور سارا زور وہیں ہے۔ 2048 سولہ خانے دیتا ہے؛ 3927 ستائیس۔ فی خانہ علامات کے ذخیرے (alphabet) کو ثابت رکھیں تو مکعب پہلے ہی تقریباً a27−16 = a11 گنا بڑا ہے؛ دس علامات کے ذخیرے کے ساتھ صرف یہی فرق سو ارب گنا زیادہ حالتیں بنتا ہے، اس سے پہلے کہ ہم کسی اور چیز کا حساب لگائیں۔ اصل انجن اضافی بُعد ہے، تین کی بنیاد والا حساب نہیں۔
ہر خانہ یا تو خالی ہوتا ہے یا اس میں ایک ٹائل کی قدر ہوتی ہے۔ 256 کی ٹائل پر محدود 2048 میں ایک خانہ نو علامات میں سے ایک بولتا ہے: خالی، اور {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}۔ بالکل اسی ذخیرے سے بنائی گئی ایک شائع شدہ بالائی حد 4×4 بورڈ کو تقریباً 5.63 × 1014 پوزیشنوں پر رکھتی ہے، اور مصنفین صاف تسلیم کرتے ہیں کہ اس چھت میں غیر قانونی بورڈ بھی شامل ہیں جو حقیقت میں کبھی پیدا نہیں ہو سکتے۔ 2 3927 کو اتنی ہی گہرائی دیں، یعنی خالی اور {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}، کل آٹھ علامات، تو اس کی خام چھت 827 ≈ 2.4 × 1024 بنتی ہے۔ تین کی بنیاد 3927 کو فی خانہ اس سے کم علامات دیتی ہے جتنی دو کی بنیاد دیتی؛ گیارہ اضافی خانے اسے آسمان واپس لوٹا دیتے ہیں۔
قدروں کی سیڑھیوں کو ذرا اور گہرا کریں تو 3927 کی چھت 2048 کی چھت سے ایک ارب گنا سے سو ارب گنا کے درمیان آگے نکل جاتی ہے۔ قوت نما کی بدولت مکعب جیت جاتا ہے۔
مکمل سائز کے 2048 کی قابلِ رسائی حالتیں کسی نے شمار نہیں کیں، 3927 کی تو بات ہی کیا۔ لیکن محققین نے 2048 کے چھوٹے کیے گئے بورڈ مکمل طور پر حل کیے ہیں، اور یہی درست اعداد ہمارے تخمینوں کو بنیاد فراہم کرتے ہیں۔ 2048 کے 3×3 بورڈ میں 48,713,519 قابلِ رسائی حالتیں ہیں؛ اسے 4×3 تک پھیلائیں تو گنتی ایک ٹریلین سے آگے نکل جاتی ہے، یعنی 1,152,817,492,752 حالتیں، جن میں 739,648,886,170 چال کے بعد کی الگ الگ پوزیشنیں ہیں۔ 3 ہر اضافی خانہ دنیا کو کئی گنا بڑھا دیتا ہے۔ اس خم کو 27 خانوں تک کھینچیں تو کوئی دیانت دار جدول ایک بھی عدد نہیں چھاپ سکتا۔
| خاصیت | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| بورڈ | 4×4 مسطح | 3×3×3 مکعب |
| خانے | 16 | 27 |
| عددی بنیاد | 2 | 3 |
| انضمام کا قاعدہ | 2 یکساں ← دگنا | 3 یکساں ← تگنا |
| دھکیلنے کی سمتیں | 4 | 6 |
| علامات / خانہ (برابر گہرائی) | 9 | 8 |
| خام چھت (غیر قانونی بورڈ سمیت) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| حوالہ شدہ بہتر بالائی حد | 5.63 × 10¹⁴ | کوئی شائع نہیں ہوئی |
| درست گنتی، 4×3 ذیلی بورڈ | 1.15 × 10¹² | , |
یہاں ہر بڑا عدد ایک بالائی حد یا درجۂ مقدار (order of magnitude) کا تخمینہ ہے، مردم شماری کبھی نہیں۔ یہ چھتیں ایسے بورڈ بھی گنتی ہیں جن تک قانونی کھیل کبھی نہیں پہنچ سکتا، مثلاً ایسا بورڈ جس پر صرف ایک اکیلی ٹائل ہو (دونوں کھیل دو ٹائلوں سے شروع ہوتے ہیں، اور ہر چال کے بعد ایک نئی ٹائل شامل کرتے ہیں، اس لیے کوئی بورڈ کبھی گھٹ کر ایک ٹائل پر نہیں آتا)، یا ایسی قدریں جو انضمام کا کوئی سلسلہ پیدا نہیں کر سکتا۔ 2048 کے اعداد ہم مرتبہ جائزہ شدہ (peer-reviewed) تحقیق سے لیے گئے ہیں؛ 3927 کے اعداد میری اپنی سرسری حساب سے نکالی گئی چھتیں ہیں، جو اسی طریقے سے نکالی گئی ہیں، اور انہیں یوں پڑھا جانا چاہیے: "اس سے بڑی نہیں، غالباً کہیں کم۔" دونوں کھیلوں کے قواعد کھیل کی ڈیزائن دستاویزات سے ناپے گئے ہیں، فرض نہیں کیے گئے۔
حالتی فضا کا حجم نقشہ ہے؛ شاخوں کا عامل (branching factor) یہ ہے کہ آپ اس پر کتنی تیزی سے چلتے ہیں۔ ہر باری میں کھلاڑی ایک سمت چنتا ہے، 2048 میں زیادہ سے زیادہ چار، 3927 میں زیادہ سے زیادہ چھ، چنانچہ مکعب ہر چال میں پچاس فیصد زیادہ حقیقی انتخاب دیتا ہے۔ پھر اتفاق دخل دیتا ہے: کھیل کسی بے ترتیب خالی خانے میں ایک نئی ٹائل گرا دیتا ہے۔ 2048 ایک 2 یا ایک 4 پیدا کرتا ہے، یعنی ہر کھلے خانے کے لیے تقریباً دو نتائج، اور خالی خانے پندرہ تک ہو سکتے ہیں؛ 3927 ہمیشہ ایک ہی 3 پیدا کرتا ہے، مگر چھبیس تک خالی خانوں میں سے کسی میں۔ 1 فیصلے کو اتفاق سے ضرب دیں تو 3927 کا کھیل کا درخت (game tree) ہر درجے (ply) پر زیادہ چوڑا پھیلتا ہے، اور چونکہ تین کے انضمام دو کے انضمام سے کم ہوتے ہیں، اس لیے اس کی بازیاں عموماً زیادہ دیر چلتی ہیں، جس سے درخت چوڑا ہونے کے ساتھ ساتھ گہرا بھی ہو جاتا ہے۔
انسان کے لیے "زیادہ مشکل" ہونا احساس کا معاملہ ہے، اور 2048 بھی کوئی آسان حریف نہیں: یہ طے کرنا کہ کوئی من مانی پوزیشن کسی ہدف ٹائل تک پہنچ سکتی ہے یا نہیں، عمومی بورڈ پر ثابت شدہ طور پر NP-hard ہے۔ 4 لیکن ایک امتزاجی شے کے طور پر 3927 ایک وسیع اور دیانت دارانہ فرق سے بڑا جانور ہے: قوت نما میں زیادہ خانے، شاخوں میں زیادہ سمتیں، گہرائی میں زیادہ لمبے کھیل۔ تین کی بنیاد والا حساب، جس سے اسے اس کا نام ملا، تقریباً ایک گمراہ کن اشارہ ہے۔ مشکل کبھی تین کے اعداد میں تھی ہی نہیں۔ وہ تیسرے بُعد میں تھی۔
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.