ایک کامل حکمتِ عملی؟

وہ کھیل جسے کسی نے حل نہیں کیا

اُس کھیل سے شروع کیجیے جسے سب جانتے ہیں۔ 2048، یعنی چار سمتیں، 4×4 گرڈ، اور چھونے پر دگنی ہو جانے والی ٹائلیں، سختی سے دیکھا جائے تو غیر حل شدہ ہے۔ کسی نے ایسا الگورتھم نہیں لکھا جو اسے کامل طور پر کھیلے۔ ہمارے پاس جو ہے وہ بہت مضبوط تخمینی طریقے ہیں۔ ایک expectimax تلاش، جو تقریباً آٹھ چالیں آگے جھانکتی ہے اور ہر بورڈ کو ہاتھ سے ترتیب دیے گئے چند ہیورسٹک پیمانوں (کھلے خانے، کنارے سے لگی بڑی ٹائلیں، ہمواری) پر پرکھتی ہے، اپنے ایک تہائی سے زیادہ کھیلوں میں 32768 کی ٹائل تک پہنچ جاتی ہے، ¹ اور سب سے مضبوط عوامی انجن چند فیصد کھیلوں میں 65536 کی ٹائل کو چھو لیتا ہے۔ ² m×n بورڈ تک عمومی بنانے پر محض یہ طے کرنا کہ کوئی ہدف ٹائل قابلِ رسائی ہے یا نہیں، NP-hard ہے۔ ³ مضبوط ہونا حل شدہ ہونے کے برابر نہیں۔

سترہ قوت نما، سولہ خانے

ایک اکیلی ٹائل کتنی بلندی تک جا سکتی ہے؟ سولہ خانوں پر اس کا جواب گنتی کا ایک چھوٹا سا، خوبصورت نکتہ ہے۔ بورڈ کو اترتی ہوئی سیڑھی کی شکل میں بچھائیں: 65536، 32768، 16384، اور یوں نیچے ایک اکیلے 2 تک۔ ہر ٹائل اپنی پڑوسی سے ٹھیک دو کی ایک طاقت نیچے ہے، اس لیے سولہ الگ الگ طاقتیں 2¹ سے 2¹⁶ تک بورڈ کو پوری طرح بھر دیتی ہیں، اور 65536 = 2¹⁶ چوٹی پر بیٹھتا ہے: ہر خانے کے لیے ایک قوت نما۔ یہ چھت ہے اگر کھیل آپ کو ہمیشہ صرف 2 ہی دے۔ لیکن 2048 دس میں سے ایک بار 4 پیدا کرتا ہے، اور صحیح وقت پر آیا ایک 4 چپکے سے سترھواں قوت نما داخل کر دیتا ہے، جس سے اصل زیادہ سے زیادہ قدر 131072 = 2¹⁷ تک پہنچ جاتی ہے، یعنی سترہ ٹائلوں جتنی طاقتیں سولہ خانوں میں سمو دی گئیں۔ ⁴ کسی انسان نے اسے نہیں بنایا؛ چند AI اسے چھو کر گزرے ہیں۔

کونے میں لنگر انداز

یہ بورڈ اپنی سب سے بڑی ٹائل کو کونے میں دبا کر رکھنے کا صلہ کیوں دیتے ہیں؟ درمیان کی ٹائل کو چار طرف دھکیلا جا سکتا ہے، اور وہ بار بار اُن ٹائلوں سے جدا ہو جاتی ہے جن سے وہ ملنا چاہتی ہے۔ کونے کی ٹائل دو دیواروں کو چھوتی ہے؛ جن دیواروں سے وہ پہلے ہی لگی ہوئی ہے اُن کی طرف دھکیلنے سے وہ ہل نہیں سکتی، اور جب تک آپ اُن سے دور کی طرف دھکیلنے سے بچیں، وہ ساکن بیٹھی رہتی ہے جبکہ باقی سب کچھ اس کے گرد منظم ہوتا ہے۔ باقی ٹائلوں کو ایک یک سمتی (monotone) سانپ کی شکل میں جوڑ دیں، سب سے بڑی کونے میں، اور باقی اترتی ترتیب میں آگے پیچھے مڑتی ہوئی، تو ایک ہی سوائپ انضمامات کا ایک پورا سلسلہ شروع کر سکتا ہے۔ ¹ یہی وہ ہیورسٹک ہے جو عام انسانی کھیل پر حاوی ہے، اور جب AI کو اپنے وزن خود ترتیب دینے دیے جائیں تو وہ تقریباً اسی کو دوبارہ دریافت کرتے ہیں۔

بے ترتیب نئی ٹائلوں والے انضمامی کھیل کا کوئی حریف نہیں ہوتا، صرف موسم ہوتا ہے۔ اسے "حل" کرنا اوسطاً پانسے کو ہرانا ہے، کسی ذہن کو ہرانا نہیں۔

مکعب کے اندر

اب بورڈ کو تین ابعاد میں جھکا دیجیے۔ 3927، 2048 کا مکعب نما رشتہ دار ہے: 27 خانوں کی 3×3×3 جالی، چار کے بجائے چھ سمتیں، اور ایسی ٹائلیں جو تین تین مل کر ضم ہوتی ہیں، 3 سے 9، 9 سے 27، 27 سے 81، یعنی تین کی بنیاد، جبکہ 2048 دو کی بنیاد پر ہے۔ ⁵ کیا کونے میں ڈھیر لگانے کی حکمتِ عملی اضافی بُعد میں بھی قائم رہتی ہے؟ مکعب کے آٹھ کونے ہیں، اور کونے کا خانہ اب دو کے بجائے تین سطحوں کو چھوتا ہے؛ اسے اور بھی مستحکم ہونا چاہیے، کیونکہ وہ بیک وقت تین دیواروں سے جکڑا ہوا ہے، اگرچہ چھ سمتیں بورڈ کو آپ کی ساخت ڈھیلی کرنے کے زیادہ طریقے دیتی ہیں۔ سانپ ایک تہ شدہ راستہ بن جاتا ہے جو تینوں تہوں میں سے گزرتا ہے۔ جہاں تک مجھے معلوم ہو سکا، کسی نے یہ طے نہیں کیا کہ آیا یہ مماثلت واقعی درست ہے؛ یہ استدلال ہے، پیمائش نہیں۔

اور چھت؟ ہر خانے کے لیے ایک قوت نما کا قاعدہ ایک ڈھیلی بالائی حد کے طور پر 3²⁷ ≈ 7.6 ٹریلین تجویز کرے گا۔ لیکن یہ مماثلت بری طرح بکھر جاتی ہے۔ 2048 کا اضافی قوت نما ایک خوش قسمت 4 سے آیا تھا؛ 3927 ہمیشہ صرف سب سے چھوٹی ٹائل، یعنی محض ایک 3، پیدا کرتا ہے، اس لیے کوئی بونس نہیں۔ اس سے بھی بدتر یہ کہ تہرے انضمام کے لیے تین ٹائلوں کا ایک لکیر میں ہونا ضروری ہے، اور 3×3×3 مکعب پر ہر قطار، کالم اور ستون ٹھیک تین خانے لمبا ہے، لہٰذا ہر انضمام پوری ایک لکیر کو کھا جاتا ہے۔ یہ پابندی مسطح کھیل کی کسی بھی چیز سے کہیں زیادہ سخت ہے اور تقریباً یقینی طور پر اصل زیادہ سے زیادہ قدر کو 3²⁷ سے کافی نیچے کھینچ لاتی ہے۔ وہ اصل عدد کیا ہے، مجھے کہیں بھی حساب کیا ہوا نہیں ملا۔ (واضح طور پر نشان زد استدلال؛ اوپر بیان کردہ میکانکس کھیل کی ڈیزائن دستاویزات سے ناپے گئے ہیں۔)